통계학 - 확률분포

 

확률변수

 

표본공간의 각 결과(근원사건)에 실수 값을 대응시키는 함수 P(X=1), P(X=2)...

 

• 이산확률변수: 확률변수가 가질 수 있는 값의 수를 셀 수 있는 경우
• 연속확률변수: 확률변수가 어느 구간에 속하는 모든 값을 가질 수 있는 경우

 

 

확률분포

 

확률변수가 가질 수 있는 값과 그에 대응하는 확률을 나타낸 것 => 확률분포표로 정리

확률 히스토그램: 확률분포를 막대그래프로

 

 

확률질량함수(pmf)

 

𝒇(𝒙) = 𝑷(𝑿 = 𝒙i)

확률변수 𝑿가 값 𝒙를 갖게 되는 확률 𝑷(𝑿 = 𝒙)

 

 

누적분포함수(cdf)

 

이산확률변수 𝑿가 가질 수 있는 값 𝒙보다 작거나 같은 누적확률값 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙) 를 대응시키는 함수

그냥 쉽게 범위가 정해진 확률질량함수라고 생각하자.

누적분포함수를 활용해 확률을 더 쉽게 구할 수 있음 ex. 여사건(1-특정사건) 활용하기

 

 

확률변수의 중앙값

 

𝑷(𝑿≤𝒎𝟎) ≥ 𝟎.𝟓 and 𝑷(𝑿≥𝒎𝟎) ≥ 𝟎. 𝟓 를 동시에 만족하는 𝒎𝟎

 

 

확률변수의 기댓값 = 𝑬(𝑿)

 

확률변수 𝑿가 갖는 확률분포의 모평균

확률을 가중치로 한 𝑿가 가질 수 있는 값의 가중 평균

확률변수 곱하기 확률변수에 대한 확률의 총합

 

선형함수에서, 𝒉(𝒙) = 𝒂 + 𝒃𝒙 이면 𝒉(𝑬(𝑿)) 성립

 

 

확률변수의 분산과 표준편차

 

𝝈 = 𝑽𝒂𝒓 (𝑿) = 분산 = 𝑬(𝑿의 제곱) − (𝑬(𝑿))의 제곱

평균으로부터의 편차의 제곱에 대한 기댓값 = 편차의 제곱을 평균

 

𝒔𝒅(𝑿) = 루트 분산

 

 

확률변수의 독립

 

두 이산확률변수 𝑿, 𝒀가 독립일 때,

𝑪𝒐𝒗(𝑿, 𝒀) = 𝟎, • 𝑪𝒐𝒓𝒓(𝑿, 𝒀) = 𝟎 성립

 

단, 역은 성립하지 않음! 공분산과 상관계수가 0이라도 독립이 아닐 수 있다.

 

𝑽𝒂𝒓(𝑿+𝒀) = 𝑽𝒂𝒓(𝑿) + 𝑽𝒂𝒓(𝒀)

𝑽𝒂𝒓(𝑿−𝒀) = 𝑽𝒂𝒓(𝑿) + 𝑽𝒂𝒓(𝒀)